Analysis: Integralrechnung im ℝn mit Anwendungen - download pdf or read online

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

ISBN-10: 3322915239

ISBN-13: 9783322915238

ISBN-10: 352827252X

ISBN-13: 9783528272524

Buchhandelstext
Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses f?r Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im R^n mit Anwendungen. In einem ersten Teil wird das Lebesguesche indispensable im R^n eingef?hrt und es werden die wichtigsten S?tze dieser Theorie bewiesen. Als Anwendungen werden u.a. die Lp-R?ume und die Fouriertransformation behandelt. Als n?chstes wird der Gau?sche Integralsatz bewiesen, der dann zum Studium der Potentialgleichung und zur Konstruktion von Fundamental-L?sungen einiger anderer partieller Differentialgleichungen ben?tzt wird. In einem ?etzten Teil wird schlie?lich der Differentialformenkalk?l eingef?hrt. Dieser Teil enth?lt auch eine Theorie der Kurvenintegrale sowie den allgemeinen Stokesschen Integralsatz f?r Untermannigfaltigkeiten des R^n mit Anwendungen auf die Integrals?tze f?r holomorphe Funktionen einer und mehrerer Variablen.

Inhalt
Inhalt: crucial f?r stetige Funktionen mit kompaktem Tr?ger - Transformationsformel - Partielle Integration - quintessential f?r halbstetige Funktionen - Berechnung einiger Volumina - Lebesgue-integrierbare Funktionen - Nullmengen - Rotationssymmetrische Funktionen - Konvergenzs?tze - Die Lp-R?ume - Parameterabh?ngige Integrale - Fourier-Integrale - Die Transformationsformel f?r Lebesgue-integrierbare Funktionen - Integration auf Untermannigfaltigkeiten- Der Gau?sche Integralsatz - Die Potentialgleichung - Distributionen - Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale - Differentialformen h?herer Ordnung - Integration von Differentialformen - Der Stokessche Integralsatz.

Zielgruppe
Studierende der Mathematik ab dem three. Semester

?ber den Autor/Hrsg
Professor Dr. Otto Forster lehrt am Mathematischen Institut der Universit?t M?nchen.

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2) Beispiel. Sei A eine Teilmenge des Rn. Die charakteristische Funktion (oder Indikatorfunktion) von A ist definiert durch XA (x):= { I 0 xEA, xE Rn\A. für für Aus den Definitionen ergibt sich unmittelbar: Die Funktion ist genau dann von unten (oben) halb stetig , falls A offen (bzw. abgeschlossen) ist. Obere Einhüllende von Funktionen Ist [;: Rn ~ RU {oo}, i E I, eine Familie von Funktionen, so wird ihre obere Einhüllende f:= sup {/;: iEI} definiert durch f(x):=sup{[;(x):iEI} füralle xERn . Die obere Einhüllende von zwei (und damit endlich vielen) stetigen Funktionen fi: Rn ~ R ist wieder stetig.

Ti + (IRn) Satz 1. a) Für alle IE f und XE R+ gilt Af(x)dx = Xf/(X)dx. ti + (IRn), kEIN, eine belieb;ge Folge. Dann gilt r(L b) Sei fk E 00 Ik (x») dx k=O ~ 00 L f*lk (x)dx. k=O' Beweis. a) Es genügt, die Aussage für X > 0 zu beweisen. Sei e > 0 vorgegeben. tf t mit I{) ~ I und SI{)(X)dX ~ f/(X)dx +~. tf t und XI{) ~ f Af(x)dx Af, folgt wieder aus der Definition des Oberintegrals ~ S XI{)(x)dx = XS I{)(x)dx ~ Xf/(X)dx + e. Da e > 0 beliebig war, gilt f Af(x)dx ~ Xf/(X)dx. h. f X-I g(x)dx f Af(x)dx ~ X-I fg(x)dx, ~ Xff(X)dx.

An E JRn gilt S(O, al> ... , an) =A . S(O, el> ... , en), wobei A die n X n-Matrix mit den Spalten al> ... , an ist. Nach Satz 2 gilt also Vol(S(O, al> ... ,an )) 1 =.. Idet(al' ... ,an)l, n. d. 7) Beispiel: Volumen der n-dimensionalen Kugel Wir bezeichnen mit Kn(r):= {xEIRn : IIxll ~r} die n-dimensionale abgeschlossene Kugel mit Radius r Vol(Kn(r)) ~ 0. 4) gilt = r n Vol(Kn (1)); es genügt also, das Volumen 7n := Vol (Kn (1)) der n-dimensionalen Einheitskugel zu berechnen. Da K 1 (1) = [ -1, 1] C IR, folgt 71 = 2.

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