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By Matthias Moßburger

ISBN-10: 3834818941

ISBN-13: 9783834818942

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14: f ist stetig, aber f −1 unstetig Sind Wurzelfunktionen stetig? 14 erkennt. Wenn jedoch die Definitionsmenge Df keine L¨ ucke hat, dann ist f −1 stetig. Das liegt letztlich an einem engen Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Monotonie: ucken, f ist stetig und f −1 existiert. 15: Der Wert f (b2 ) wird nach dem Zwischenwertsatz im Intervall [ a , b1 ] ein zweites Mal angenommen, was der Existenz von f −1 widerspricht. 17. Es sei f : [ c , d ] −→ Wf stetig und bijektiv. Dann ist f streng monoton.

Aufprall 0,7 s , die Zeit zwischen dem 3. und dem 4. Aufprall 0,7·0,7 s = 0,49 s und immer so weiter: nach jedem Aufprall wird die Zeit mit 0,7 multipliziert. Nach unserer praktischen Erfahrung bleibt der Ball nach einigen Sekunden liegen. Doch wie lange w¨ urde das theoretisch dauern, wenn der Ball also nach jedem Aufprall zur¨ uckspringen w¨ urde? Es mag sehr einleuchtend klingen, dass der Ball theoretisch nie zur Ruhe kommt: Er springt immer wieder zur¨ uck, also kann es doch keinen letzten Sprung geben!

14 folgt ∞ 0,9 = 9 · 0,1i − 0,10 =9· i=0 1 −1 1 − 0,1 =9· 1 =1. 9 Allgemein: Es sei (zi )i eine Folge mit zi ∈ {0 ; 1 ; 2 ; . . ; 9} f¨ ur alle i ∈ N , und k Sk := zi · 0,1i f¨ ur alle k ∈ N . Die Folge (Sk )k ist monoton steigend mit oberer i=1 Schranke 0,9 = 1 (da alle zi ≤ 9), also konvergiert (Sk )k nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom gegen eine reelle Zahl. F¨ ur den Grenzwert benutzt man die Schreibweise ∞ zi · 0,1i = 0,z1 z2 z3 . . (an der i-ten Stelle steht die Ziffer zi ) . 7 haben wir gezeigt, wie man Grenzwerte von Bruchtermen berechnet, wenn der Z¨ ahler keine h¨ ohere Potenz von n enth¨alt als der Nenner.

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by Jeff
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