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By C.; Hemery, C. Lebosse

Cours conforme au programme du 23 juin 1962.

Table des matières :

Algèbre et Arithmétique

Leçon 1 — Rapports
Leçon 2 — Proportions
Leçon three — Racine carrée entière d’un nombre entier
Leçon four — Racine carré approchée. — Racine carrée exacte
Leçon five — Radicaux arithmétiques. — Racines d’un nombre relatif
Leçon 6 — Expressions algébriques. — Monômes
Leçon 7 — Polynômes
Leçon eight — Multiplication des monômes et des polynômes
Leçon nine — Identités remarquables
Leçon 10 ­— department des monômes et des polynômes. — Décomposition en facteurs
Leçon eleven — Fractions rationnelles
Leçon 12 — Équation du preferable degré à une inconnue
Leçon thirteen — Équations qui se ramènent au finest degré. — Équations littérales
Leçon 14 — Systèmes d’équations du most effective degré
    Élimination par substitution
    Élimination par addition
    Généralisations
Leçon 15 — Inéquation du premiere degré à une inconnue
Leçon sixteen — Les problèmes d’algèbre
Leçon 17 — Fonctions et graphiques
Leçon 18 — Étude de los angeles fonction : y = ax
Leçon 19 — Étude de los angeles fonction : y = ax + b
Leçon 20 — functions de l. a. fonction : y = ax + b

Géométrie

I. Géométrie plane

Leçon 1 — Rapport de deux segments. — issues divisant un section dans un rapport donné
Leçon 2 — Théorème de Thalès
Leçon three — functions du théorème de Thalès
    Propriété des bissectrices d’un triangle
    Constructions
Leçon four — Triangles semblables
    Premières applications
Leçon five — Cas de similitude des triangles
Leçon 6 — functions de los angeles similitude
Leçon 7 — relatives métriques dans le triangle rectangle
Leçon eight — Rapports trigonométriques
Leçon nine — relatives trigonométriques dans le triangle rectangle
Leçon 10 — family métriques dans le cercle
Leçon eleven — buildings géométriques
Leçon 12 — Polygones réguliers. — Périmètre du cercle
Leçon thirteen — Mesure des aires

II. Géométrie dans l’espace

Leçon 14 — Généralités sur le plan
Leçon 15 — Droites parallèles. — perspective de deux droites
Leçon sixteen — Droite et plan parallèles
Leçon 17 — Plans parallèles
Leçon 18 — Droite et plan perpendiculaires
Leçon 19 — Droites orthogonales. — Perpendiculaires et obliques
Leçon 20 — Angles dièdres
Leçon 21 — Plans perpendiculaires
Leçon 22 — Projections orthogonales. — Vecteurs

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A−1 ((ab)(ab)) (a−1 (ab))(ab) ((a−1 a)b))(ab) (eb)(ab) b(ab) = = = = = a−1 (a2 b2 ) (a−1 a2 )b2 ((a−1 a)a)b2 (ea)b2 ab2 The next step is to multiply on the right by b−1 . The associative law for multiplication essentially says that parentheses don’t matter, so we don’t really need to include all of the steps we showed before. b(ab)b−1 = (ab2 )b−1 (ba)(bb−1 ) = (ab)(bb−1 ) ba = ab This completes the proof, since we have shown that if (ab)2 = a2 b2 , then ba = ab. 28. Let G be a group, and suppose that a and b are any elements of G.

Solution: This could be proved by induction, but a more elegant proof can be given by simply observing that 10n+1 + 4 · 10n + 4 ≡ 0 (mod 9) since 10 ≡ 1 (mod 9). 36. Prove that the fourth power of an integer can only have 0, 1, 5, or 6 as its units digit. Solution: Since the question deals with the units digit of n4 , it is really asking to find n4 (mod 10). All we need to do is to compute the fourth power of each congruence class modulo 10: 04 = 0, (±1)4 = 1, (±2)4 = 16 ≡ 6 (mod 10), (±3)4 = 81 ≡ 1 (mod 10), (±4)4 ≡ 62 ≡ 6 (mod 10), and 54 ≡ 52 ≡ 5 (mod 10).

10 can be expressed in the form 12m + 20n, where m, n are integers? 6 provides the answer. An integer k is a linear combination of 12 and 20 if and only if it is a multiple of their greatest common divisor, which is 4. Therefore we can express 0, 4, and 8 in the required form, but we can’t do it for the rest. Comment: Check out the answer in concrete terms. We can write 0 = 12 · 0 + 20 · 0; 4 = 12 · 2 + 20 · (−1); 8 = 12 · (−1) + 20 · 1. 25. If n is a positive integer, find the possible values of gcd(n, n + 10).

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