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By Claus Scheiderer

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9 Lemma. √ Man kann Quadratwurzeln konstruieren: Ist z ∈ C konstruierbar, so sind auch ± z konstruierbar. Beweis. Man kann Winkel halbieren: Ist (OP Q) ein Winkel, so bestimme P durch Schnitt von KO (P ) mit G(O, Q). 3) halbiert den Winkel: √ Daher gen¨ ugt es, f¨ ur reelles x > 0 die Quadratwurzel x zu konstruieren. Dazu sei M = x−1 2 der Mittelpunkt zwischen −1 und x, sei {±iy} = KM (−1) ∩ iR. ). Mit Pythagoras folgt (1+x)2 = 7. 10 Korollar. h. ein Teilk¨ orper, welcher keine echte quadratische Erweiterung hat.

A) Es gibt r ≥ 0 und eindeutig bestimmte nat¨ urliche Zahlen d1 , . . , dr > 1 mit d1 | d2 | · · · | dr und mit G ∼ = Z/d1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/dr Z. Man nennt d1 , . . , dr die Elementarteiler von G. (b) F¨ ur jede Primzahl p ist G(p) := {g ∈ G : ∃n ∈ N mit pn g = 0} eine Untergruppe von G, genannt die p-prim¨are Komponente von G. Sind p1 , . . , ps die verschiedenen Primteiler von |G|, so ist G = G(p1 ) ⊕ · · · ⊕ G(ps ). (c) Sei p ein Primteiler von |G|. Es gibt k ∈ N und e1 ≤ · · · ≤ ek in N mit k G(p) ∼ = Z pej Z.

Wegen K p = K existiert f¨ ur jedes i ein bi ∈ K mit bpi = ai , und es folgt f = g p mit g = i bi xi ∈ K[x], Widerspruch zur Irreduzibilit¨at von f . Also ist f separabel, und das zeigt, daß K vollkommen ist. 19 Beispiele. 1. Jeder algebraisch abgeschlossene K¨orper ist vollkommen. 2. Jeder endliche K¨ orper K ist vollkommen. Denn der Frobenius ϕ : K → K ist injektiv, also wegen |K| < ∞ auch surjektiv (Schubfachprinzip). 3. F¨ ur ein Beispiel eines nicht vollkommenen K¨orpers sei char(K) = p > 0, und sei F = K(t) (der rationale Funktionenk¨orper in der Variable t).

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by Charles
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