New PDF release: Algebra

By Markus Junker

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B. 20). 5 (a) Kleiner Satz von Fermat: Seien a ∈ Z und die Primzahl p ∈ N teilerfremd. Dann gilt ap−1 ≡ 1 (mod p). (b) Satz von Euler: Seien a ∈ Z und n ∈ N, n aϕ(n) ≡ 1 32 1 teilerfremd. Dann gilt (mod n). 6. Beweis: Rechnen modulo n entspricht dem Rechnen im Ring Z/nZ. 8. 3 (Folgerung aus dem Satz von Lagrange) (a + nZ)ϕ(n) = 1 + nZ, was gerade der Satz von Euler ist. (a) ist dann der Spezialfall n = p. 6 [Anwendung: Primzahltests I] Ist eine gegebene Zahl n ∈ N eine Primzahl? √ n, ob d ein Teiler von n ist.

3 F¨ ur ein Polynom f (X) = n leitung f (X) = ci X i ∈ K[X] definiert man die formale Ab- i=0 ici X i−1 . Es gelten dann die u ¨blichen Regeln: f = 0 ⇐⇒ f konstant, i=1 (f + g) = f + g und (f g) = f g + f g . 4 f hat nur einfache Nullstellen in K ⇐⇒ keine Nullstelle von f ist Nullstelle von f (in K) ⇐⇒ f und f sind teilerfremd in K[X]. Beweis: Falls f (X) = c(X − a1 ) . . (X − an ), so f (X) = c · (X − aj ). Man sieht: Ist i=1 j=i a1 = a2 doppelte Nullstelle, so auch Nullstelle von f und X − a1 ist gemeinsamer Teiler.

Xn ) mit Q(a1 , . . , an ) = 0 . • [K(a) : K] heißt der Grad von a u ¨ber ¨ber K. 5). • a heißt primitives Element der K¨ orpererweiterung L/K, falls L = K(a). Die K¨ orpererweiterung heißt dann primitive oder einfache Erweiterung. Es ist klar per Definition, daß K(a, b) = K(a)(b) ist. 7 Es sei L/K eine K¨ orpererweiterung und a ∈ L. Wir betrachten den Auswertungshomomorphismus evala : K[X] → L mit Kern {P ∈ K[X] | P (a) = 0} = K[X] ∩ (X − a) · L[X]. Es gibt zwei F¨ alle: (I) Kern(evala ) = {0}.

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Algebra by Markus Junker

by Anthony

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